अनिश्चित अभिन्न, इसकी गुण और गणना। पूर्व की तरह और अनिश्चितकालीन अभिन्न

Gbou Spo "Navashinsky Shoesekhhan तकनीकी स्कूल" एक अनिश्चितकालीन अभिन्न। गणना के लिए तरीके

Evdox पुस्तक ठीक है। 408 - ठीक है। 355 साल बीसी इ। अभिन्न गणना गणितीय विज्ञान के विकास की प्राचीन अवधि के दौरान दिखाई दी और थकावट की एक विधि के साथ शुरू हुई, जो प्राचीन ग्रीस के गणितज्ञों द्वारा प्रगति थी, और ईडॉक्स द्वारा विकसित नियमों का एक सेट था। इन नियमों के अनुसार, क्षेत्र और खंडों की गणना की गई

Leibniz Gotfride Wilhelm (1646-1716) प्रतीक ∫ लीबनिक (1675) द्वारा पेश किया गया था। यह संकेत लैटिन पत्र एस (समांग शब्द का पहला अक्षर) में एक बदलाव है।

गॉटफ्राइड विल्हेम लीबनिज़ (1646-1716) इसहाक न्यूटन (1643 - 1727) न्यूटन और लीबेंट्स ने एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से खोला, जिसे न्यूटन के फॉर्मूला - लीबनिता के नाम से जाना जाता है।

ऑगस्टन लुई कौची (178 9 - 1857) कार्ल थियोडोर विल्हेम वीयरस्ट्रैस (1815 18 9 7) कौची और वीयरएटर्स के काम ने अभिन्न गणना के सदियों पुरानी विकास को सारांशित किया।

रूसी गणितज्ञों ने अभिन्न गणना के विकास में भाग लिया: एमवी। Ostrogradsky (1801 - 1862) v.ya. Bunyakovsky (1804 - 1889) पीएल। चेबिशेव (1821 - 18 9 4)

अंतराल (ए; बी) पर निरंतर फ़ंक्शन एफ (एक्स) से एक अनिश्चितकालीन अभिन्न अभिन्न अभिन्न अंग को इसके किसी भी आदिम कार्य कहा जाता है। जहां सी एक मनमाना स्थिर (const) है।

1. एफ (x) \u003d x n 2. f (x) \u003d c 3. f (x) \u003d sinx 4. f (x) \u003d 6. f (x) \u003d 1. f (x) \u003d cx + c 2 । F (x) \u003d 3. f (x) \u003d 4. f (x) \u003d sin x + के साथ 5. f (x) \u003d tg x + c 6. f (x) \u003d - cos x + c 5। F (x) \u003d cosx ने मैच सेट किया। एक प्राइमेटिव का ऐसा सामान्य दृश्य ढूंढें जो किसी दिए गए फ़ंक्शन से मेल खाता है। टीजी एक्स + सी

गुण अभिन्न

गुण अभिन्न

मूल एकीकरण विधि सारणी। 2. राशि या अंतर में एकीकृत अभिव्यक्ति के तालिका रूपांतरण को तैनात करना। 3. एक चर (प्रतिस्थापन) को बदलकर एकीकरण। 4. भागों में एकीकरण।

कार्यों के लिए आदिम खोजें: f (x) \u003d 5 x ² + cf (x) \u003d x ³ + cf (x) \u003d - cos x + 5x + cf (x) \u003d 5 sin x + cf (x) \u003d 2 x ³ + cf (x) \u003d 3 x - x ² + c 1) f (x) \u003d 10x 2) f (x) \u003d 3 x ² 3) f (x) \u003d sin x +5 4) f (x) \u003d 5 कोस x 5) f (x) \u003d 6 x ² 6) f (x) \u003d 3-2x

क्या यह सत्य है: a) c) b) d)

उदाहरण 1. अभिव्यक्तियों की मात्रा का अभिन्न इन अभिव्यक्तियों के इंटीग्रल के योग के बराबर है। निरंतर गुणक अभिन्न के संकेत से पहुंचा जा सकता है

उदाहरण 2. निर्णय लिखने के निर्णय की जांच करें:

उदाहरण 3. निर्णय को लिखने के निर्णय की जांच करें:

उदाहरण 4। समाधान लिखने के निर्णय की जांच करें: हम एक नया चर और व्यक्त विभेदक पेश करते हैं:

उदाहरण 5. निर्णय लिखने के निर्णय की जांच करें:

सी प्रतिष्ठित कार्य एक अनिश्चित अभिन्न स्तर खोजें "ए" स्तर ("3") स्तर "बी" ("4") स्तर "सी" ("5" पर)

अनुरूपता निर्धारित करना। एक प्राइमेटिव का ऐसा सामान्य दृश्य ढूंढें जो किसी दिए गए फ़ंक्शन से मेल खाता है।

उत्तम। विभेदक कैलकुस का कार्य: इस सुविधा पर इसके व्युत्पन्न को ढूंढें। अभिन्न कैलकुस का कार्य: अपने व्युत्पन्न को जानकर, एक समारोह खोजें। फ़ंक्शन एफ (एक्स) को किसी दिए गए अंतराल पर फ़ंक्शन एफ (एक्स) के लिए आदिम कहा जाता है, यदि समानता एफ '(एक्स) \u003d एफ (एक्स) इस अंतर से किसी भी एक्स के लिए मान्य है।

प्रमेय। यदि फ़ंक्शन एफ (एक्स) कुछ अंतराल पर एक आदिम फ़ंक्शन एफ (x) है, तो सभी प्राथमिक कार्यों के सेट में फॉर्म f (x) + c, जहां c r. yx 0 ज्यामितीय रूप से: f (x) + सी ओयू एक्सिस के साथ उनमें से प्रत्येक समानांतर हस्तांतरण से प्राप्त एक पारिवारिक वक्र है। अभिन्न वक्र के साथ

उदाहरण 2. सभी आदिम फ़ंक्शंस f (x) \u003d 2x ढूंढें और उन्हें ज्यामितीय रूप से चित्रित करें। वाई एक्स

एकीकृत समारोह एकीकृत है - एक अनिश्चित अभिन्न x का संकेत एकीकरण चर एफ (एक्स) + सी - सभी आदिम सी के सेट - निरंतर एकीकरण का सेट एक आदिम कार्य को खोजने की प्रक्रिया को एकीकरण कहा जाता है, और गणित- इंटीग्रल कैलकुलस अनुभाग।

अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग से अनिश्चित अभिन्न भिन्नता के गुण एकीकृत अभिव्यक्ति के बराबर होते हैं, और अनिश्चितकालीन अभिन्न का व्युत्पन्न अभिन्न क्रिया के बराबर होता है:

मूल एकीकरण विधियों। प्रत्यक्ष एकीकरण विधि। प्रत्यक्ष एकीकरण को इंटीग्रल की गणना करने के लिए ऐसी विधि कहा जाता है जिसमें वे अनिश्चितकालीन अभिन्न के मूल गुणों के सामान्य उपयोग में कम हो जाते हैं। इस मामले में, एकीकृत समारोह आमतौर पर तदनुसार परिवर्तित किया जाता है।

एनोशिना ओ.वी.

मुख्य साहित्य

1. Schipachev V. S. उच्च गणित। बेसिक कोर्स: ट्यूटोरियल और
बैचलर्स के लिए कार्यशाला [रूसी संघ की शिक्षा मंत्रालय के ग्रामोन] / वी एस।
Schipachev; ईडी। A. N. Tikhonov। - 8 वां एड।, पेररैब। और जोड़। मॉस्को: युरट, 2015. - 447 पी।
2. Schipachev वी। एस उच्च गणित। पूर्ण पाठ्यक्रम: ट्यूटोरियल
अकाद के लिए। अंडरग्रेजुएट [ग्रिड उमो] / वी। एस शिपचेव; ईडी। लेकिन अ।
N. Tikhonov। - चौथा एड।, अधिनियम। और जोड़। - मास्को: yuraight, 2015. - 608
से
3. डंको पी।, पोपोव एजी, कोझेविकोवा टी .. उच्च गणित
अभ्यास और कार्यों में। [पाठ] / पीई। डंको, एजी Popov, टीए।
Kozhevnikova। 2 एच। - एम।: हायर स्कूल, 2007. - 304 + 415 सी।

रिपोर्टिंग

1.
परीक्षा। अनुसार प्रदर्शन:
परीक्षण के लिए कार्य और दिशानिर्देश
अनुशासन "एप्लाइड मैथमैटिक्स", एकटेरिनबर्ग, फ़ागौ पर
"रूसी राज्य व्यावसायिक शैक्षिक
विश्वविद्यालय, 2016 - 30 एस।
अंतिम अंक संख्या का चयन करने के लिए तैयारी विकल्प
क्रेडिट बुक।
2.
परीक्षा

एक अनिश्चित अभिन्न, इसकी गुण और प्राथमिक और अनिश्चित अभिन्न की गणना

परिभाषा। एफ फंक्शन एफ एक्स कहा जाता है
आदिम समारोह एफ एक्स को परिभाषित किया गया
कुछ अंतराल यदि f x f x के लिए
इस अंतर से प्रत्येक एक्स।
उदाहरण के लिए, कॉस एक्स फ़ंक्शन है
आदिम समारोह पाप x, बाद से
कॉस एक्स पाप एक्स।

जाहिर है, अगर एफ एक्स एक आदिम है
फ़ंक्शन एफ एक्स, फिर एफ एक्स सी, जहां कुछ स्थिर के साथ भी, यह भी है
आदिम समारोह एफ एक्स।
यदि F x किसी प्रकार का है
फ़ंक्शन एफ एक्स, फिर किसी भी प्रकार का फ़ंक्शन
F x f x c भी है
आदिम समारोह f x और सभी
इस रूप में पूर्व की तरह इमेजिंग।

परिभाषा। सभी की कुलता
पहला फ़ंक्शन f x,
कुछ पर परिभाषित
अंतराल कहा जाता है
अनिश्चित अभिन्न ओ.टी.
इस अंतराल पर f x x
एफ एक्स डीएक्स को दर्शाता है।

यदि F x कुछ आदिम कार्य है
एफ एक्स, फिर एफ एक्स डीएक्स एफ एक्स सी लिखें, हालांकि
एफ एक्स डीएक्स एफ एक्स सी लिखना अधिक सही होगा।
हम अच्छी तरह से दिमागी परंपरा पर लिखेंगे।
एफ एक्स डीएक्स एफ एक्स सी।
इस प्रकार, एक ही प्रतीक
एफ एक्स डीएक्स को सभी के रूप में दर्शाया जाएगा
आदिम समारोह एफ एक्स का संयोजन,
तो और इस सेट का कोई भी तत्व।

गुण अभिन्न

एक अनिश्चित अभिन्न का व्युत्पन्न बराबर है
एकीकृत कार्य, और इसकी विभेदक-उत्सुक अभिव्यक्ति। सच में:
1. (एफ (एक्स) डीएक्स) (एफ (एक्स) सी) एफ (एक्स) एफ (एक्स);
2. डी एफ (एक्स) डीएक्स (एफ (एक्स) डीएक्स) डीएक्स एफ (एक्स) डीएक्स।

गुण अभिन्न

3. अनिश्चित अभिन्न
अंतर निरंतर (x)
भिन्न समारोह सबसे अधिक के बराबर है
यह सुविधा निरंतर के लिए सटीक है:
d (x) (x) dx (x) c,
चूंकि (x) (x) के लिए आदिम है।

गुण अभिन्न

4. अगर f1 x और f 2 x कार्य करता है
पूर्व की तरह, फिर एफ 1 एक्स एफ 2 एक्स समारोह
एक आदिम भी है, और
एफ 1 एक्स एफ 2 एक्स डीएक्स एफ 1 एक्स डीएक्स एफ 2 एक्स डीएक्स;
5. केएफ एक्स डीएक्स के एफ एक्स डीएक्स;
6. एफ एक्स डीएक्स एफ एक्स सी;
7. एफ एक्स एक्स डीएक्स एफ एक्स सी।

1. डीएक्स एक्स सी।
एक 1।
एक्स।
2. एक्स ए डीएक्स
सी, (ए 1)।
एक 1।
डीएक्स।
3. ln x c।
एक्स।
एक्स।
ए।
4. एक एक्स डीएक्स
सी।
एलएन ए
5. ई एक्स डीएक्स ई एक्स सी।
6. पाप XDX कॉस एक्स सी।
7. कॉस एक्सडीएक्स पाप एक्स सी।
डीएक्स।
8. 2 सीटीजीएक्स सी।
पाप एक्स।
डीएक्स।
9. 2 टीजीएक्स सी।
कॉस एक्स।
डीएक्स।
आरसीटीजीएक्स सी।
10.
2
1 एक्स

अनिश्चितकालीन अभिन्न

11.
डीएक्स।
ARCSIN एक्स सी।
1 x 2।
डीएक्स।
1
एक्स।
12. 2 2 आर्कट्ज सी।
ए।
ए।
एक एक्स।
13.
14.
15.
डीएक्स।
ए 2 एक्स 2।
एक्स।
Arcsin सी ..
ए।
डीएक्स।
1
एक्स ए
Ln।
सी।
2
2
2 ए एक्स ए।
एक्स ए
डीएक्स।
1
एक एक्स।
एक 2 x 2 2a ln a x c।
डीएक्स।
16.
एक्स 2 ए।
Ln x x 2 a c।
17. SHXDX CHX C.
18. CHXDX SHX सी।
19.
20.
डीएक्स।
सीएच 2 एक्स थैक्स सी।
डीएक्स।
Cthx c।
2
श एक्स।

विभेदक की गुण

जब इसे एकीकृत करना सुविधाजनक है
गुण: 1।
1. डीएक्स डी (कुल्हाड़ी)
ए।
1
2. डीएक्स डी (एक्स बी),
ए।
1 2
3. एक्सडीएक्स डीएक्स,
2
1 3
2
4. एक्स डीएक्स डीएक्स।
3

उदाहरण

उदाहरण। सीओएस 5xDX की गणना करें।
फेसला। अभिन्न तालिका में हम पाएंगे
कॉस एक्सडीएक्स पाप एक्स सी।
हम इस अभिन्न को तालिका में बदलते हैं,
इस तथ्य का लाभ उठाते हुए डी एक्स एडीएक्स।
फिर:
डी 5 एक्स 1
\u003d Cos 5 xD 5 x \u003d
COS 5XDX COS 5 x
5
5
1
\u003d पाप 5 x सी।
5

उदाहरण

उदाहरण। एक्स की गणना करें।
3 एक्स एक्स 1 डीएक्स।
फेसला। अभिन्न के संकेत के तहत
चार शब्दों का योग है, फिर
चार की राशि के लिए अभिन्न का विस्तार करें
इंटीग्रल:
2
3
2
3
2
3
एक्स।
3
एक्स।
एक्स।
1
डीएक्स।
एक्स।
डीएक्स।
3
एक्स।
डीएक्स एक्सडीएक्स डीएक्स।
x3।
x4 x2।
3
एक्स सी।
3
4
2

चर के प्रकार से स्वतंत्रता

जब इंटीग्रल की गणना सुविधाजनक है
निम्नलिखित गुणों का उपयोग करें
इंटीग्रल:
यदि एफ एक्स डीएक्स एफ एक्स सी, तो
एफ एक्स बी डीएक्स एफ एक्स बी सी।
यदि एफ एक्स डीएक्स एफ एक्स सी, तो
1
एफ एक्स बी डीएक्स एफ एक्स बी सी।
ए।

उदाहरण

गणना
1
6
2
3
एक्स।
डीएक्स।
2
3
एक्स।
सी।
.
3 6
5

एकीकरण विधियों में भागों में एकीकरण

यह विधि यूडीवी यूवी वीडीयू फॉर्मूला पर आधारित है।
एकीकृत एकीकरण विधियां ऐसी अभिन्न हैं:
ए) एक्स एन पाप एक्सडीएक्स, जहां एन 1,2 ... के;
बी) एक्स एन ई एक्स डीएक्स, जहां एन 1,2 ... के;
सी) एक्स एन arctgxdx, जहां n 0, 1, 2, ... के। ;
डी) एक्स एन एलएन एक्सडीएक्स, जहां एन 0, 1, 2, ... के।
जब इंटीग्रल की गणना करना) और बी) पेश किया
एन 1।
पदनाम: एक्स एन यू, फिर डीयू एनएक्स डीएक्स, और, उदाहरण के लिए
SIN XDX DV, फिर v cos x।
जब इंटीग्रल की गणना करते हैं तो, डी) यू फ़ंक्शन के लिए denoted
आर्कटेक्स, एलएन एक्स, और डीवी के लिए एक्स एन डीएक्स ले लो।

उदाहरण

उदाहरण। एक्स कॉस एक्सडीएक्स की गणना करें।
फेसला।
यू एक्स, डीयू डीएक्स
=
एक्स कॉस एक्सडीएक्स
डीवी कॉस एक्सडीएक्स, वी पाप एक्स
X sin x sin xdx x sin x cos x c।

उदाहरण

उदाहरण। गणना
X ln xdx
डीएक्स।
यू एलएन एक्स, डीयू
एक्स।
एक्स 2
डीवी एक्सडीएक्स, वी
2
एक्स 2
एक्स 2 डीएक्स।
एलएन एक्स
=
2
2 एक्स
एक्स 2
1
एक्स 2
1 x2
ln x xdx
एलएन एक्स
सी।
=
2
2
2
2 2

चर के प्रतिस्थापन की विधि

इसे एफ एक्स डीएक्स खोजने के लिए आवश्यक होने दें, और
सीधे आदिम उठाओ
एफ एक्स के लिए, हम नहीं कर सकते, लेकिन हम जानते हैं कि
वह मौजूद है। अक्सर खोजने में कामयाब रहे
एक नया चर दर्ज करके आदिम,
सूत्र के अनुसार
एफ एक्स डीएक्स एफ टी टी डीटी, जहां एक्स टी, और टी - नया
परिवर्तनशील

स्क्वायर थ्रेचेल युक्त कार्यों को एकीकृत करना

अभिन्न पर विचार करें
कुल्हाड़ी।
डीएक्स,
एक्स पीएक्स क्यू।
वर्ग तीन युक्त
गैर-संप्रदाय
अभिव्यक्ति। इस तरह के एक अभिन्न भी लिया जाता है
चर बदलने के लिए विधि,
बी तैयार करने के बाद
खतरे पूर्ण वर्ग।
2

उदाहरण

गणना
डीएक्स।
.
x 4x 5।
फेसला। हम x 2 4 x 5 को बदलते हैं,
2
फॉर्मूला ए बी 2 ए 2 2 एबी बी 2 के अनुसार एक पूर्ण वर्ग को हाइलाइट करने के बाद।
फिर हमें मिलता है:
x2 4x 5 x2 2 x 2 4 4 5
x 2 2 x 4 1 x 2 2 1
एक्स 2 टी।
डीएक्स।
डीएक्स।
डीटी।
एक्स टी 2।
2
2
2
x 2 1 DX DT
x 4x 5।
टी 1।
आर्कट्ज सी आरसीटीजी एक्स 2 सी।

उदाहरण

ढूँढ़ने के लिए
1 एक्स
1 एक्स
2
डीएक्स।
टीडीटी।
1 टी।
2
एक्स टी, एक्स टी 2,
DX 2TDT
2
टी 2।
1 टी।
2
डीटी।
1 टी।
1 टी।
डी (टी 2 1)
टी
2
1
2
2tdt।
2
डीटी।
Ln (t 1) 2 dt 2
2
1 टी।
Ln (t 2 1) 2t 2arctgt c
2
Ln (x 1) 2 x 2arcc x c।
1 टी 2 1
1 टी।
2
डीटी।

कुछ अभिन्न, इसकी मुख्य गुण। फॉर्मूला न्यूटन लैब्स्सा। एक विशिष्ट अभिन्न के अनुप्रयोग।

एक निश्चित अभिन्न लीड की अवधारणा
Curvilinear के क्षेत्र को खोजने का कार्य
ट्रेपेज़ियम।
कुछ अंतराल सेट पर चलो
निरंतर कार्य y f (x) 0
एक कार्य:
उसके शेड्यूल का निर्माण करें और एफ स्क्वायर आकृति पाएं,
इस वक्र द्वारा बाध्य, दो सीधे x \u003d a और x
\u003d बी, और नीचे - अंक के बीच ABSCISSA अक्ष का कट
x \u003d a और x \u003d b।

एएबीबी फिगर कहा जाता है
कर्विलिनियर ट्रेपेज़ियम

परिभाषा

बी
f (x) dx
एक विशिष्ट अभिन्न के तहत
ए।
इस निरंतर कार्य f (x) पर
यह खंड समझा जाता है
इसके लिए इसी वेतन वृद्धि
आदिम, वह है
F (b) f (a) f (x) /
बी
ए।
संख्या ए और बी - एकीकरण सीमा,
एकीकरण अंतराल।

नियम:

एक निश्चित अभिन्न अंतर के बराबर है
आदिम प्रारंभिक मूल्य
ऊपरी और निचली सीमाओं के लिए कार्य
एकीकरण।
अंतर के लिए पदनाम दर्ज करना
बी
F (b) f (a) f (x) / a
बी
f (x) dx f (b) f (a)
ए।
न्यूटन फॉर्मूला - लीबनिता।

एक विशिष्ट अभिन्न के मुख्य गुण।

1) एक निश्चित अभिन्न का मूल्य निर्भर नहीं करता है
एकीकरण चर का पदनाम, यानी
बी
बी
ए।
ए।
f (x) dx f (t) dt
जहां एक्स और टी कोई अक्षर हैं।
2) एक विशिष्ट अभिन्न
सीमाएं
एकीकरण शून्य है
ए।
f (x) dx f (a) f (a) 0
ए।

3) एकीकरण सीमा की अनुमति देते समय
एक निश्चित अभिन्न अंग को विपरीत में बदल देता है
बी
ए।
f (x) dx f (b) f (a) f (a) f (b) f (x) dx
ए।
बी
(Additivity की संपत्ति)
4) यदि अंतर को एक सीमित संख्या में विभाजित किया गया है
आंशिक अंतराल, फिर एक विशिष्ट अभिन्न,
अंतराल द्वारा लिया गया निश्चित राशि के बराबर है
इंटीग्रल अपने सभी आंशिक अंतराल में लिया गया।
बी
सी।
बी
f (x) dx f (x) dx
सी।
ए।
ए।
f (x) dx

5) स्थायी गुणक बाहर ले जाया जा सकता है
एक निश्चित अभिन्न के संकेत के लिए।
6) बीजगणितीय से एक निश्चित अभिन्न अंग
निरंतर की अंतिम संख्या की राशि
कार्य एक ही बीजगणितीय के बराबर है
इनमें से कुछ इंटीग्रल का योग
कार्य।

3. चर को एक विशिष्ट अभिन्न में बदलना।

3. चर को एक निश्चित में बदलना
अभिन्न।
बी
f (x) dx f (t) (t) dt
ए।
ए (), बी (), (टी)
कहा पे
टी के लिए; ], कार्य (टी) और (टी) निरंतर हैं;
5
उदाहरण:
1
=
x 1dx
=
x 1 5।
टी 0 4।
एक्स 1 टी।
डीटी डीएक्स।
4
0
3
2
टी डीटी टी 2
3
4
0
2
2
16
1
टी टी 40 4 2 0
5
3
3
3
3

अमान्य इंटीग्रल।

अमान्य इंटीग्रल।
परिभाषा। फ़ंक्शन f (x) को परिभाषित करने दें
अनंत अंतराल जहां बी< + . Если
मौजूद
बी
लिम।
f (x) dx,
बी
ए।
फिर इस सीमा को प्रतिरक्षा कहा जाता है
अंतराल पर इंटीग्रल फ़ंक्शन f (x)
}