एका बदलाच्या फंक्शन्सचा सिद्धांत. गणितीय विश्लेषण

"गणितीय विश्लेषण", 1st year, 1st semester पासून झोपेपर्यंत आहार देणे.

1. लिचशिवाय. गुणाकारांवर मूलभूत ऑपरेशन्स. मेट्रिक आणि अंकगणित जागा.

2. अनेक संख्या. संख्यात्मक सरळ रेषेवर संप्रेषणाशिवाय: vidrizki, intervals, pivos, outskirts.

3. Viznachennya obmezhenoї अनेकवचनी. संख्यात्मक गुणकांच्या वरच्या आणि खालच्या सीमा. संख्यात्मक गुणकांच्या वरच्या आणि खालच्या सीमांबद्दल पोस्ट्युलेट्स.

4. गणितीय इंडक्शनची पद्धत. बर्नौली आणि कोशीची अनियमितता.

5. कार्यक्षमता पदनाम. कार्य आलेख. जोडलेली आणि जोडलेली कार्ये. नियतकालिक कार्ये. फंक्शन तयार करण्याचे मार्ग.

6. शेवटच्या दरम्यान. नंतरच्या शब्दांची शक्ती, कसे एकत्र करावे.

7. शेवटचे ब्रिजिंग. सहनशक्तीच्या मनाच्या पर्याप्ततेबद्दल प्रमेय.

8. नीरस समाप्ती तारखेचे मूल्य. नीरस सहनशक्ती बद्दल Vejyrshtras 'प्रमेय.

9. संख्या इ.

10. पॉइंट्सवर फंक्शन्स दरम्यान. गैर-विसंगतता वर हस्तक्षेप. एकतर्फी सीमा.

11. अव्यक्तपणे लहान कार्ये. Mezha sumi, तयार आणि खाजगी कार्ये.

12. विसंगतींच्या सामर्थ्याबद्दल प्रमेये. अनियमिततेच्या सीमेवर संक्रमण. तीन कार्यांबद्दल प्रमेय.

13. दरम्यान प्रथम आणि इतर चमत्कार.

14. अमर्यादपणे लहान फंक्शन्समधून, स्पष्टपणे उत्कृष्ट कार्ये आणि दुवे.

15. Porіvnyannya अनिश्चित काळासाठी लहान कार्ये. समतुल्य शक्ती अनिश्चितपणे लहान. समतुल्य वर अनिश्चित मलिख बदलण्याबद्दल प्रमेय. मूलभूत समतुल्यता.

16. बिंदूंवर कार्याची परिपूर्णता. अखंड कार्यांसह पर्याय. Bezperervn_st मुख्य प्राथमिक कार्ये.

17. फंक्शन्सच्या वितरणाच्या बिंदूंचे वर्गीकरण. व्यत्ययाशिवाय अतिरिक्त मूल्य

18. डिझाईन फोल्डिंग फंक्शन. फोल्डिंग फंक्शन्स दरम्यान. फोल्डिंग फंक्शनची सातत्य. हायपरबोलिक कार्ये

19. वितरणासाठी कार्याची परिपूर्णता. फंक्शनच्या इंटरमीडिएट व्हॅल्यूमध्ये व्यत्यय न आणता फंक्शनच्या शून्य करण्याबद्दल कॉचीची प्रमेये.

20. बदलासाठी व्यत्ययाशिवाय कार्य करण्याची शक्ती. अखंडित फंक्शन्सच्या इंटरकनेक्शनबद्दल वेइरराष्ट्राचे प्रमेय. किमान आणि सर्वात कमी महत्त्वाच्या कार्याबद्दल वेरराष्ट्राचे प्रमेय.

21. नीरस फंक्शन्सचे पदनाम. मोनोटोन फंक्शन बद्दल Weiєrshtras प्रमेय. फंक्शनच्या अर्थहीन मूल्याविषयीचे प्रमेय नीरस आणि बदलासाठी व्यत्यय नसलेले आहे.

22. Zvorotn_y कार्य. zorotnoy कार्याचा आलेख. iznuvannya आणि व्होकल फंक्शनच्या अखंडतेबद्दल प्रमेय.

23. Zvorotny त्रिकोणमितीय आणि हायपरबोलिक फंक्शन्स.

24. मजेदार कार्यांसाठी डिझाइन केलेले. समान मूलभूत कार्ये.

25. फरक करण्यासाठी कार्याचे पदनाम. फंक्शन्सच्या भिन्नतेमध्ये पुरेशी बुद्धिमत्ता असणे आवश्यक आहे. व्यत्यय आणि भिन्नता न करता कार्यक्षमता.

26. भौमितिक zmіst obhіdnoї. Rivnyannya dotichnoy आणि कार्याच्या आलेखापर्यंत सामान्य.

27. सुमी ये, ती खाजगी दोन कार्ये तयार करा

28. यात फोल्डिंग फंक्शन आणि फंकी फंक्शन आहे.

29. लॉगरिदमिक भिन्नता. फंक्शन पॅरामेट्रिकली सेट केले आहे.

30. सुधारणा कार्ये मुख्य भाग. फंक्शनच्या रेखीयकरणासाठी सूत्र. भौमितिक भिन्नता भिन्नता.

31. विभेदक फोल्डिंग फंक्शन. फॉर्मचे अंतर ते भिन्नता.

32. भूमिका, लॅग्रेंज आणि कॉची प्रमेये भिन्न करणार्‍या कार्यांच्या शक्तीबद्दल. डंपलिंग्जचे सूत्र.

33. Zastosuvannya pohіdnoї सीमांवर नॉन-व्हॅल्यूज उघडण्यासाठी. लोपिटलचा नियम.

34. व्यवसाय मूल्य nवा क्रम. परिचित n-व्या क्रमाचे नियम. लीबनिझचे सूत्र. शैक्षणिक प्रणालीतील फरक.

35. Peano फॉर्मच्या अधिशेष सदस्यामधून टेलरचे सूत्र. लॅग्रेंज आणि कॉची फॉर्मचे झालिश्कोवी सदस्य.

36. फंक्शन्सची वाढ आणि बदल. टोकापर्यंत स्पेक्स.

37. कार्याची चिकटपणा आणि अचूकता. बेंड पॉइंट्स.

38. फंक्शन्सचा अनिर्दिष्ट विकास. लक्षणें.

39. फंक्शनचा आलेख प्रेरित करण्यासाठी योजना.

40. Viznachennya प्राथमिक. मुख्य शक्ती प्राथमिक आहे. साधे एकीकरण नियम. सर्वात सोप्या पूर्णांकांची सारणी.

41. श्लॅचसह एकत्रीकरण न नियुक्त केलेल्या इंटिग्रलमधील भागांसह एकत्रीकरणाचे वैकल्पिक सूत्र बदलते.

42. मनात एकात्मता e ax cos bx आणि e ax sin bx व्यतिरिक्त recurrent spivvidoshen.

43. अपूर्णांक एकत्रीकरण		आवर्ती sp_vv_doshen च्या अतिरिक्त मदतीसाठी.

	एक 2 एन
	एक 2 एन

44. अविभाज्य मूल्येतर्कसंगत कार्य पासून. सर्वात सोप्या अपूर्णांकांचे एकत्रीकरण.

45. नॉन-व्हॅल्यूज इष्टतम फंक्शनमध्ये एकत्रित केले जातात. सर्वात सोप्या भागांवर योग्य अपूर्णांकांची नियुक्ती.

46. परिमेय फंक्शनमधून अ-मूल्ये\u200b\u200bइंटग्रल. विराझिव्हचे एकत्रीकरण



	R x, m

47. परिमेय फंक्शनमधून अ-मूल्ये\u200b\u200bइंटग्रल. R x, ax 2 bx c च्या स्वरूपात विराजचे एकत्रीकरण. आयलरचा परिसर.

48.मनात एकात्मता

ax2 bx c

2 bx c

49. परिमेय फंक्शनमधून अ-मूल्ये\u200b\u200bइंटग्रल. द्विपद भिन्नतांचे एकत्रीकरण.

50. त्रिकोणमितीय विषाणूंचे एकत्रीकरण. युनिव्हर्सल त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन.

51. काही वेळा तर्कसंगत त्रिकोणमितीय फरकांचे एकत्रीकरण, जर अविभाज्य कार्य पापाशी जोडलेले नसेल x (abo cos x) abo sin x і cos x सह जोडलेले.

52. विराझिव्हचे एकत्रीकरण sin n x cos m x і sin nx cos mx.

53. विराझिव्हचे एकत्रीकरण tg m x і ctg m x.

54. विराझिव्हचे एकत्रीकरणअतिरिक्त त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापनांसाठी R x, x 2 a 2, R x, a 2 x 2 і R x, x 2 a 2.

55. Vizvaluesintegral. कुटिल ट्रॅपेझियमच्या क्षेत्राच्या मोजणीबद्दल शीर्षक.

56. अखंड सुमी. सुमी दर्बा. गायन अभिन्न बद्दल प्रमेय. फंक्शन्सचे वर्गीकरण करा, कसे समाकलित करावे.

57. गायनाची शक्ती अभिन्न । सरासरी मूल्य प्रमेये.

58. वरच्या सीमेचे अविभाज्य याक कार्य गायन. सुत्रन्यूटन-लिबनिट्झ.

59. फॉर्म्युला बदलत्या फॉर्म्युलाची जागा घेते जे गायन एकत्रीकरणातील भागांसह एकत्रित केले जाते.

60. भूमितीमध्ये अविभाज्य संख्येची बेरीज. ओबाम फिगुरी. ओबाम फिगर रॅपिंग.

61. भूमितीमध्ये अविभाज्य संख्येची बेरीज. क्षेत्रफळ सपाट आकृती... कुटिल क्षेत्राचे क्षेत्रफळ. डोव्हझिना कुटिल आहे.

62. Viznachennya nevlasnogo पहिल्या वंशाचा अविभाज्य. सुत्र 1ल्या प्रकारच्या अनौपचारिक अविभाज्य घटकांसाठी न्यूटन-लेबनिट्झ. साधी शक्ती.

63. 1ल्या प्रकारच्या सकारात्मक कार्याच्या गैर-विशिष्ट अविभाज्य घटकांची समानता.ऑर्डरचे 1-a आणि 2-d प्रमेय.

64. चिन्ह फंक्शन्सच्या बाबतीत 1ल्या प्रकारच्या गैर-विशिष्ट अविभाज्य घटकांची पूर्णपणे ती हुशारी. हाबेल आणि डिरिचलेच्या व्यवसायाची चिन्हे.

65. Viznachennya nevlasny अविभाज्य ІІ प्रकारची. सुत्रदुसऱ्या प्रकारच्या नॉन-स्ट्राँग इंटिग्रल्ससाठी न्यूटन-लिबनिट्झ.

66. असंबंधित इंटिग्रल्सचे इंटरलॉकिंग 1ला आणि 2रा प्रकार. नवीन इंटिग्रल्सडोक्याच्या अर्थाची जाणीव.

ए.व्ही. ग्लास्को

गणितीय विश्लेषणाचे व्याख्यान

"प्राथमिक कार्ये मी मेझी"

मॉस्को, MDTU im. नाही बाउमन

§1. तार्किक प्रतीकवाद.

गणितीय भिन्नता लिहिताना, आपण खालील तार्किक चिन्हे वापरू:

	मूल्य	मूल्य

		कोणासाठी, त्वचेसाठी, प्रत्येकासाठी (पहा

		इस्नू, माहित आहे, є (अस्तित्वात आहे)

		व्हॅबिट, सरकलेला (ओटझे)

		बरोबरीने तोडी आणि तिळकी तोडी,
		आवश्यक आणि पुरेसे
तर, जर A आणि B परिणामी, तर

		मूल्य



		A abo B (abo A abo B, abo A і B)






		be-like x maє उंदरांसाठी A

		Isnu x, कोणत्याही ma mіsce A साठी

		Z A vipliv V (जर ते खरे A असेल तर ते खरे B आहे)
(іmplіkatsіya)
		बरोबरीने, आणि maє misce todi आणि फक्त todі, जर maє misce,
		आवश्यक आणि पुरेशा साठी
	आदर. "AB" म्हणजे B साठी A पुरेसा आहे आणि A साठी B आवश्यक आहे.

नितंब (x = 1) => (x2 -3x +2 = 0) => ((x = 1) (x = 2)).

काही प्रकरणांमध्ये, आम्ही एक विशेष चिन्ह वापरू: A = df.

विन म्हणजे, scho A = मूल्यानुसार.

§2. लिचशिवाय. घटक हे अनेकत्वाचे ते भाग आहेत.

बरेच काही समजून घेणे ही पहिली गोष्ट आहे, कारण ती जास्त साधेपणाने येत नाही. शब्द: sukupn_st, family, typ - yogo समानार्थी शब्द.

बरेच काही जोडा: वर्गात विद्यार्थ्यांशिवाय, विभागातील मुलांशिवाय, पार्किंगमध्ये आणि कारशिवाय.

हे समजून घेणारे पहिले देखील є समज आहे अनेक घटकती vіdnosini

अनेकांचे mіzh घटक.

नितंब N - bezlіch नैसर्गिक संख्या, घटकांसह є संख्या 1,2,3, ... परंतु x і y - घटक N, यापैकी एका ओडनोसिनची सर्व दुर्गंधी ओलांडली आहे: x = y, x येथे

आम्ही मोठ्या अक्षरांशिवाय गर्भधारणा करण्यास सक्षम आहोत: A, B, C, X, Y, ..., घटकांसारखे - malimi: a, b, c, x, y, ...

घटक आणि अनेकवचनांमधील विद्नोसिनी अक्षरांमध्ये घातलेल्या चिन्हांद्वारे दर्शविली जाते. पुढे. नेखाई अ - kіlkka. Todi vіdnoshennya a आणि याचा अर्थ, A चा घटक कोण आहे.

तुम्ही काहीही मागू शकता एक चांगला मार्ग आहे... 1. Pererahuvannya योग घटक.

उदाहरणार्थ, A = (a, b, c, d), B = (1, 7, 10)

2. घटकांच्या शक्तीचा क्रम. नेखाई ए - शक्तीहीन घटक, जे नदीची शक्ती असू शकते. किंमत दर्शकावर लिहिली जाऊ शकते: A = (a: p) किंवा A = (ap).

उदाहरणार्थ, A = (x: (x R) (x2 -1> 0)) लिहिणे म्हणजे A हा कोणत्याही वैध संख्येशिवाय є आहे, जो अनियमितता x2 -1> 0 सह आनंदी आहे.

अनेक महत्त्वाची मूल्ये प्रविष्ट करा.

Def. Bagato ला Kintsev म्हणतात, कारण ते घटकांची एकवचन संख्या आहे. प्रथम स्थानावर, त्याला अंतहीन म्हटले जात नाही.

उदाहरणार्थ, वर्गात विद्यार्थ्यांची कमतरता अनैतिक आहे, आणि नैसर्गिक संख्यांचा अभाव किंवा मध्यभागी गुणांची संख्या अंतहीन आहे.

Def. बेझलिच, इच्छित घटकाचा बदला कसा घ्यायचा नाही, रिक्त म्हटले जावे आणि ओळखले जावे.

Def. दोन पुष्कळांना pryvnyi म्हणतात, कारण दुर्गंधी एकाच आणि सारखीच साठवली जाते

तोबतो. अनेकांची समज घटकांचा थेट क्रम हस्तांतरित करत नाही. Def. बेझलिच X ला गुणाकार Y चा उपसंच म्हणतात, जणू तो गुणाकार X є गुणाकार Y चा घटक आहे.

X च्या Y є घटकाचा घटक). मध्ये tsyomu vikoristovutsya अर्थ: X Y.

उदाहरणार्थ, संत्र्याशिवाय O є अमर्यादित निष्फळ फळे F: O F, आणि नैसर्गिक संख्यांशिवाय N є अमर्यादित संख्येने उच्चार संख्या R: N R.

“” आणि “” या चिन्हांना जीवनाचे प्रतीक म्हणतात. Vvazhayut, scho त्वचा स्वत: ला खूप є आहे. खूप रिकामे є भरपूर.

Def. बे-याक नॉन-रिक्त सबबहुल Y बहुवचन A, A च्या समान नाही, म्हटले जाईल

चला बाहेर पडूया.

§ 3. यूलर-वेनचे आकृत्या. गुणाकारांवर प्राथमिक ऑपरेशन्स.

स्क्वेअरवरील क्षेत्रांप्रमाणे ग्राफिकदृष्ट्या दृश्यमान करणे सोपे आहे. त्याच वेळी, आदरावर अवलंबून राहून, प्रदेशाचे बिंदू अनेकांच्या घटकांशी जुळतात. अशा ग्राफिकल विधानांना युलर-वेन आकृती म्हणतात.

नितंब A - MDTU मध्ये विद्यार्थ्यांशिवाय, У - वर्गात विद्यार्थ्यांशिवाय. लहान. 1 हेतुपुरस्सर A B दाखवत आहे.

प्राथमिकच्या वैज्ञानिक प्रतिमेसाठी युलर-वेनचे आकृती मॅन्युअली विकोरिस्टोवुवती गुणाकारांवर ऑपरेशन... मुख्य ऑपरेशन्सपूर्वी, खालील गोष्टी केल्या पाहिजेत.

लहान. 1. आयलर-वेन डायग्रामचे बट.

1. पेरेटिन A B संच A आणि B ला C शिवाय म्हणतात, जे सर्व घटकांमधून संग्रहित केले जाऊ शकतात आणि A आणि B दोन्ही संच एकाच वेळी उपस्थित असणे आवश्यक आहे:

C = A B = df (z: (z A) (z B))

(अंजीर 2 मध्ये, छायांकित क्षेत्राद्वारे कोणतेही C दर्शविले जात नाही).

लहान. 2. पेरेटिन मनोगोझिन.

2. AB संच बद्दल A आणि B ला C संच म्हणतात, जे सर्व घटकांमधून संग्रहित केले जाऊ शकतात, परंतु एखाद्याला A किंवा B एकच संच हवा आहे.

C = A = df (z: (z A) (z B))

(अंजीर 3 मध्ये, छायांकित क्षेत्राद्वारे C दर्शविले जात नाही).

लहान. 3. Ob'dnannya अनेकवचन.

लहान. 4. Riznitsya अनेकवचनी.

3.Riznistyu A \ B संच A आणि B ला बेकायदेशीर C म्हणतात, जे अनेक घटकांपासून संग्रहित केले जाऊ शकतात, परंतु तेथे भरपूर A असणे आवश्यक आहे, परंतु भरपूर B नाही:

A \ B = (z: (z A) (z B))

(अंजीर 4 मध्ये bezl_ch C ला a द्वारे प्रस्तुत केले आहे थेट रंगप्रदेश).

§4. भरपूर उपयुक्त संख्या.

मी आर या साध्या संख्येच्या लिंचशिवाय जागृत होईन. नैसर्गिक संख्यांशिवाय, जे अशा प्रकारे महत्त्वपूर्ण असेल. याक पहिल्या घटकाची संख्या n = 1 आहे. त्वचेचे आक्षेपार्ह घटक युनिटच्या पुढच्या टोकापासून ट्रिम केले जातील:

N = (1, 1 + 1, (1 + 1) +1,…) = (1, 2, 3, …, n,…).

N = (-1, -2, -3, ..., -n, ...).

पूर्ण संख्यांशिवाय Zहे लक्षणीय आहे की तीन गुणाकार आहेत: N, -N і गुणाकार, जे एका घटकातून संग्रहित केले जाऊ शकतात - शून्य:

कोणत्याही परिमेय संख्यांशिवाय, हे कोणत्याही परिमेय संख्यांशिवाय महत्त्वपूर्ण आहे:

Q = (xx = m/n; m, n Z, n 0).

अर्थात, एन प्र.

वरवर पाहता, अंतहीन क्रिया किंवा न संपलेल्या नियतकालिक अपूर्णांकाच्या दृश्यात त्वचा-परिमेय संख्या रेकॉर्ड केली जाऊ शकते. सर्व मूल्यांच्या व्याख्येसाठी किती परिमेय संख्या आहेत, ज्याचा उपयोग नवीन प्रकाशाच्या विकासासाठी केला जाऊ शकतो? आधीच प्राचीन ग्रीसमध्ये असे दर्शविले गेले आहे की ni: जर तुम्हाला एकाच पायासह पाय असलेली आयताकृती ट्रायसायकल दिसली तर कर्णाच्या दृश्यात वांशिक संख्या दर्शवणे शक्य नाही. पण, आम्ही कोणत्याही परिमेय संख्यांसह गुंफले जाऊ शकतो. संख्यांची समज वाढवणे आवश्यक आहे. त्से विस्तार zaprovadzhenny पोहोचण्यासाठी शिवाय वंशीय संख्या J, mislity प्रमाणे सोपे, bezlich non-periodic non-endless tense of fractions.

परिमेय आणि परिमेय संख्यांचा संच जोडणे म्हणतात

कोणत्याही क्रियेशिवाय (भाषण) संख्या R: R = Q Y.

काही प्रकरणांमध्ये, वाजवी, अमर्यादित संख्येपेक्षा अधिक विस्तृत पहा

अंकीय अक्षावरील बिंदूंद्वारे व्यक्तिचलितपणे संख्या काढा.

Def. संख्यात्मक vіssu ला सरळ म्हणतात, एक cob vіdlіku, स्केल आणि थेट संदर्भ दर्शविला जातो.

वास्तविक संख्या आणि संख्यात्मक अक्षाच्या बिंदूंच्या दरम्यान, उत्तर अस्पष्ट आहे: संख्यात्मक अक्ष आणि नवपाकीच्या एका बिंदूद्वारे उच्चार संख्या प्रदर्शित केली जाते की नाही.

अनियंत्रित संख्यांच्या नॉन-इंटरप्शन (नॉन-इंटरप्शन) चे स्वयंसिद्ध. जर बुलियन्स नसतील तर रिक्त गुणाकार A = (a) R आणि B = (b) R म्हणून, कोणत्याही a किंवा b साठी, एक विसंगती a ≤ b आहे, तेथे c संख्या आहे.R देखील आहे जेथे a ≤ c ≤ b (Fig. 5).

अंजीर 5. वैध संख्यांच्या गुणाकाराच्या स्वयंसिद्धतेचे चित्रण.

§5. अनेक संख्या. बद्दल.

Def. अगणितपणे R चा गुणाकार म्हटले जाते. अनेक संख्या आहेत: N, Z, Q, J, आणि देखील

डाउनलोड करा: (x R | a x b),

मध्यांतर: (a, b) (x R | a x b), (,) = R

मध्यांतर: (x R | a x b),

(x R | x b).

अंकीय अक्षाच्या बिंदूच्या सीमारेषा समजून घेण्यासाठी मी गणितीय विश्लेषणाची भूमिका बजावेन.

Def. -बिंदू x 0 जवळ, बिंदू x 0 (चित्र 6) वर केंद्रीत, 2 पर्यंत मध्यांतर कॉल करा:

u (x 0) (x 0, x 0).

लहान. 6. बिंदू जवळ.

Def. पंक्चर झालेल्या काठाच्या बिंदूला बिंदूची किनार म्हणतात,

बिंदू x 0 स्वतःच सक्षम आहे (अंजीर 7):

u (x 0) u (x 0) \ (x 0) (x 0, x 0) (x 0, x 0).

लहान. 7. बिंदू जवळ पंक्चर.

Def. बिंदू x0 ची उजवी बाजूची सीमा napivinterval म्हणतात

u (x 0), मूल्याची श्रेणी: E = [-π / 2, π / 2].

लहान. 11. फंक्शन y चाप sin x चा आलेख.

फोल्डिंग फंक्शनची संकल्पना आता सादर केली आहे ( रचनात्मक प्रतिमा). तीन संच D, E, M देऊ नका आणि f: D → E, g: E → M देऊ नका. स्पष्टपणे, नवीन प्रतिमा h: D → M तयार करणे शक्य आहे, संमिश्र प्रतिमा f आणि g ला फोल्डिंग फंक्शन (Fig. 12) म्हटले जाऊ शकते.

फोल्डिंग फंक्शनचा अर्थ खालीलप्रमाणे आहे: z = h (x) = g (f (x)) किंवा h = f o g.

लहान. 12. फोल्डिंग फंक्शन समजण्यासाठी उदाहरण.

फंक्शन f(x) म्हणतात अंतर्गत कार्य, आणि फंक्शन g (y) आहे नवीन कार्य.

1. अंतर्गत कार्य f (x) = x², मूल्य g (y) sin y. फोल्डिंग फंक्शन z = g (f (x)) = sin (x²)

2. आता नवपाकी. अंतर्गत कार्य f (x) = sinx, मूल्य g (y) y2. u = f (g (x)) = sin² (x)

गणित, अर्थशास्त्र आणि नैसर्गिक विज्ञान या विषयात विशेषत: पदवीधर आणि पदव्युत्तर शिक्षणाचा अभ्यासक्रम, तसेच मिडल स्कूल आणि विकलाडिक विद्यापीठांमध्ये गणिताच्या शिक्षकांसाठी. काही शाळकरी मुलंही असतील ज्यांना गणिताचा अभ्यास करायला गमवावा लागतो.

कोर्स पर्यंत जागे व्हा. गणितीय विश्लेषणातून मनोरंजक शास्त्रीय साहित्याचा कोर्स, जो विद्यापीठाच्या पहिल्या सत्रात घ्यायचा आहे. तेथे "अनेक आणि उच्चार संख्यांच्या सिद्धांताचे घटक", "संख्यात्मक समाप्तींचा सिद्धांत", "बिटवीन आणि अखंड फंक्शन्स", "फंक्शन्सचे भेदभाव", "भेदाची पर्याप्तता" हे विभाग सादर केले जातील. आपण बुद्धीमानांच्या शक्तीहीनतेबद्दल जाणू शकतो आणि उच्चार क्रमांकाचा अर्थ उच्चार संख्यांच्या सामर्थ्याइतका स्पष्ट आहे. शेवट आणि शक्तींच्या संख्येबद्दल बोलूया. त्से एका नवीन, अधिक कठोर मानकांवर, शालेय मुलांना सुप्रसिद्ध असलेल्या संख्यात्मक कार्य समजून घेण्यास अनुमती देतात. आम्ही व्यत्यय नसलेल्या फंक्शन्सच्या दरम्यान आणि त्याशिवाय समजूत घालू, नवीन इमारतीच्या निर्मितीसाठी अखंड फंक्शन्स आणि स्टोरेजची शक्ती वाटाघाटी करू.

अभ्यासक्रमाच्या दुसऱ्या भागात, आमच्याकडे समान कार्यात्मक आणि भिन्न कार्ये नाहीत, परंतु भिन्न कार्ये देखील आहेत, जी भिन्न आहेत. त्से विरिशुवतीला असा एक महत्त्वाचा अनुप्रयोग लादण्याची परवानगी देतात, कारण ते कार्य आणि कुटुंबाच्या विकासाच्या मूल्याच्या मोजणीच्या जवळ आहे, कार्याच्या कार्यांची गणना आणि आलेखाची प्रेरणा.

स्वरूप

नवचन्न्याचे स्वरूप अनुपस्थितीत (अंतर) आहे.
Schotyzhnevі व्यस्ततेमध्ये थीमॅटिक व्हिडिओ लेक्चर्सचे पीअर-रिव्ह्यू आणि परिणामांच्या स्वयंचलित पुनरावृत्तीसह त्यांच्या उपक्रमांच्या चाचण्यांचे सादरीकरण समाविष्ट आहे.
vivchennya शिस्तीचा एक महत्त्वाचा घटक म्हणजे पुराव्यावर कर्मचारी आणि कर्मचार्यांच्या संख्येवर आत्मनिर्भरता. निर्णय म्हणजे जगासमोर तार्किकदृष्ट्या सत्य असल्याचे चुकीचे विधान करणे, ते योग्य फॉर्ममध्ये तयार करणे (जर वनस्पतीची गणना केली गेली असेल), अन्यथा ते दृढपणे स्थापित करणे आवश्यक आहे (सैद्धांतिक आस्थापनांसाठी).

विमोगी

विमा मध्ये बॅचलर 1 roku navchannia कोर्स. समाजातील प्राथमिक गणिताचे आवश्यक ज्ञान माध्यमिक शाळा(11 वर्ग).

अभ्यासक्रम कार्यक्रम

व्याख्यान 1.अनेकांच्या सिद्धांताचे घटक.
व्याख्यान 2.भाषण क्रमांक समजून घेणे. संख्यात्मक गुणकांच्या अचूक सीमा.
व्याख्यान 3.स्पीच नंबर्सवर अंकगणित ऑपरेशन्स. क्रिया क्रमांकांची शक्ती.
व्याख्यान 4.त्या शक्तीच्या अंतांची संख्या.
व्याख्यान 5.नीरस परिणाम. चिरस्थायी मूल्याच्या मूल्याचा निकष.
व्याख्यान 6एका बदलाचे कार्य समजून घेणे. इंटरफंक्शन्स. स्पष्टपणे लहान आणि अनिश्चितपणे उत्कृष्ट कार्ये.
व्याख्यान 7.व्यत्यय न करता कार्यक्षमता. कटिंगच्या बिंदूंचे वर्गीकरण. व्यत्यय कार्ये न करता स्थानिक आणि जागतिक शक्ती.
व्याख्यान 8.नीरस कार्ये. Zvorotn_y कार्य.
व्याख्यान 9.साधी प्राथमिक कार्ये आणि शक्ती: दर्शवित आहे, लॉगरिदमिक आणि राज्य कार्ये.
व्याख्यान 10.त्रिकोणमितीय आणि मौखिक त्रिकोणमितीय कार्ये. दरम्यान चमत्कार. समतुल्य कार्यक्षमता.
व्याख्यान 11.अश्लील आणि भिन्नता समजून घेणे. भौमितिक zmіst obhіdnoї. भिन्नता नियम.
व्याख्यान 12.समान मूलभूत कार्ये. भिन्न कार्ये.
व्याख्यान 13. Pochіdnі आणि भिन्न ऑर्डरचे भिन्नता. लीबनिझचे सूत्र. संभाव्य पॅरामेट्रिक कार्ये.
व्याख्यान 14.मुख्य पॉवर फंक्शन्स, जे वेगळे केले जातात. रोल आणि लॅग्रेंजची प्रमेये.
व्याख्यान 15.कॉचीचे प्रमेय. पहिला म्हणजे गैर-मूल्यांच्या विकासासाठी लोपिटलचा नियम.
व्याख्यान 16.लोपिटलचा आणखी एक नियम म्हणजे गैर-मूल्यांची निर्मिती. Peano फॉर्मच्या अधिशेष सदस्यामधून टेलरचे सूत्र.
व्याख्यान 17.टेलरचे सूत्र іf एक अधिशेष पद zagalny स्वरूपात, Lagrange आणि Cauchy स्वरूपात. मुख्य प्राथमिक कार्यांच्या मॅक्लॉरिन सूत्राच्या मागे ड्रॉप. कार्यक्रम टेलरचे सूत्र.
व्याख्यान 18.टोकाला पुरेसा साक्षीदार. फंक्शन्सच्या आलेखाचे लक्षणविज्ञान. विपुईटी.
व्याख्यान 19.बेंड पॉइंट्स. अतिरिक्त फंक्शन्सचे हेडलाइन डायग्राम. ग्राफिक्स लावा.

नवीन परिणाम

अभ्यासक्रमात प्राविण्य मिळवण्याच्या परिणामी, श्रोते गणितीय विश्लेषणाच्या मूलभूत आकलनाबद्दलचे ज्ञान नाकारतात: भरपूर, संख्या, त्या कार्याचे नंतरचे जीवन, अधिकार्यांना जाणून घेणे आणि नवीन उपक्रमांच्या बाबतीत स्थिर होणे.

मला मूल्य बदलू द्या x nएक अनिश्चित चिरस्थायी मूल्य स्वीकारणे

x 1 , x 2 , ..., x n , ..., (1)

आणि बदलाच्या बदलाचा कायदा का x n, tobto. त्वचेसाठी नैसर्गिक संख्या nनिर्दिष्ट केले जाऊ शकते x n... अशा रँकसह, हस्तांतरण करणे शक्य आहे x nपासून फंक्शन n:

x n = f (n)

तसे, गणितीय विश्लेषण समजून घेण्यासाठी सर्वात महत्वाचे म्हणजे शेवटच्या मूल्यांमधील रेषा x n, scho शेवटची चौकशी करत आहे x 1 , x 2 , ..., x n , ... . .

विझ्नाचेन्न्या.पोस्ट_क्रमांक aम्हणतात सीमारेषा x 1 , x 2 , ..., x n , ... . सीमारेषेसाठी x nकोणत्याही लहान धन संख्या e साठी, एक नैसर्गिक संख्या देखील आहे एन(संख्या एन), बदलाचा सर्व अर्थ x n, त्याचे निराकरण करत आहे x एन, पासून पाहिले aपेक्षा कमी परिपूर्ण मूल्यात, कमी e. Dana viznachennya थोडक्यात खालीलप्रमाणे लिहावे:

| x n - अ |< (2)

अजिबात n  एन, abo, scho तेच,

कोशीनुसार सीमारेषेचे मूल्य... अंक A ला बिंदू a वर सीमा फंक्शन f (x) म्हणतात, कारण फंक्शन बिंदू a च्या मध्यभागी विग्नेटच्या मागे, कदाचित बिंदू a स्वतः, आणि त्वचेसाठी ε> ० असल्यास δ> ० असे म्हटले जाते. तसेच, सर्व x साठी, कृपया लक्षात ठेवा | x - a |< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

हेनसाठी सीमारेषेचे मूल्य... अंक A ला बिंदू a वरील सीमा फंक्शन f (x) असे म्हणतात, कारण फंक्शन बिंदू a च्या मागील बिंदूजवळ क्रियेत नियुक्त केले आहे, कदाचित, बिंदू a स्वतः, आणि जे काही असेल फंक्शनच्या शेवटच्या व्हॅल्यूवर अवलंबून, a वर कसे जायचे

फंक्शन f(x) हे बिंदू a च्या मधोमध असल्याने रेषा मध्‍ये आहे.

अंक A 1 ला बिंदू a येथे सीमा कार्य f (x) म्हणतात, जर त्वचेसाठी ε> 0 ісує δ>

अंक A 2 ला सीमा फंक्शन f (x) a बिंदूवर उजव्या हाताने म्हटले जाते, जर त्वचेसाठी ε> 0 іsnuє δ> 0 देखील असेल तर त्या सर्वांसाठी एक दोष आहे.

वाईट दरम्यान म्हणजे उजव्या हाताच्या दरम्यान - आणि त्यांच्या दरम्यान बिंदू अ पासून वाईट आणि उजव्या हाताच्या कार्याचे वर्तन दर्शवा. Їх ला अनेकदा एकतर्फी रेषा म्हणतात. x → 0 दरम्यान नियुक्त एकतर्फी, तुम्ही पहिले शून्य कमी करू शकता: i. तर, फंक्शनसाठी

अगदी त्वचा ε> 0 असा δ-जवळचा बिंदू a आहे, परंतु सर्व x, समाधानी आहेत |x - a |< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, नंतर असे दिसते की फंक्शन f (x) बिंदूवर एक अखंड सीमा आहे:

तर, फंक्शन बिंदू x = 0 अमर्यादित सीमारेषेवर आहे अनेकदा खुली सीमा, समान + ∞ आणि –∞. तर,

त्वचेसाठी ε > ०, तसेच δ> ०, परंतु कोणत्याही x> δ साठी, अनियमितता असेल | f (x) - A |< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

अचूक वरच्या बाउंडबद्दल प्रमेय

विझ्नाचेन्या:АR mR, m - А चा वरचा (खालचा) चेहरा, जेव्हा аА аm (аm).

विझ्नाचेन्या: Bezlich A वर (खाली) वेढलेले आहे, जसे की іsnu takeе m, scho аА, vikonutsya аm (аm).

विझ्नाचेन्या: SupA = m, जेथे 1) m हा A चा सर्वोच्च आहे

२) m ’: m’ मी 'टॉप एज नाही ए

InfA = n, जेथे 1) n ही A ची खालची किनार आहे

2) n ': n'> n => n' हा A चा इन्फिमम नाही

विझ्नाचेन्न्या: SupA = m ही संख्या आहे, खालीलप्रमाणे: 1)  aA am

2) > 0 a  A,  a- देखील

2) > 0 a  A, तसेच E a + 

प्रमेय: Be-yak, nonempty वरच्या बाजूला bezlich АR ने वेढलेले आहे, मी वरची धार बनवीन आणि मी एक जोडतो.

वितरित: